Question

如图，圆O₁和圆O₂相交于A、B两点，AB是圆O₂的直径，过A点作圆O₁ 的切线交圆O₂于点E，并与BO₁，PB分别与圆O₁ 、圆O₂交于C，D两点。求证
(Ⅰ)PA·PD=PE·PC；
(Ⅱ)AD=AE。

Answer 1

证明：（1 ）∵PE 、PB 分别是⊙O₂的割线
∴PA.PE=PD.PB              
又∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线和割线
∴PA²=PC.PB        
由以上条件得PA.PD=PE.PC；
（2）连接AC 、ED ，设DE 与AB 相交于点F
∵BC 是⊙O₁ 的直径，
∴∠CAB=90°
∴AC 是⊙O₂的切线
由（1 ）知，
∴AC∥ED，
∴AB⊥DE，∠CAD= ∠ADE
又∵AC 是⊙O₂的切线，
∴∠CAD= ∠AED
又∠CAD=∠ADE，
∴∠AED=∠ADE
∴AD=AE