Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 ， 且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，
∵椭圆的离心率为e=，
∴a2=4b2 ，
又∵M（4，1），
∴，解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为．
（Ⅱ）将y=x+m代入并整理得
5x2+8mx+4m2﹣20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B
∴△=（8m）2﹣20（4m2﹣20）＞0，解得﹣5＜m＜5
【解析】（I）设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率为 ， 得出a2=4b2 ， 再根据M（4，1）在椭圆上，解方程组得b2=5，a2=20，从而得出椭圆的方程；
（II）因为直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，可将直线方程与椭圆方程消去y得到关于x的方程，有两个不相等的实数根，从而△＞0，解得﹣5＜m＜5；