Question

19．如图，三棱锥P-ABC中，BC⊥平面PAB，PA=PB=AB=6，BC=9，点M，N分别为PB，BC的中点．
（1）求证：AM⊥平面PBC；
（2）E是线段AC上的点，且AM∥平面PNE．
①确定点E的位置；②求直线PE与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AM⊥PB，AM⊥BC，由此能证明AM⊥平面PBC．
（2）①连结MC，交PN于F，则F是△PBC的重心，由此能求出E为靠近A的AC的一个三等分点．
②作EH⊥AB于H，则EH∥BC，∠EPH是直线PE与平面PAB所成的角，由此能求出直线PE与平面PAB所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵$PA\$=AB，M为PB中点，∴AM⊥PB，
∵BC⊥平面PAB，AM?平面PAB，∴AM⊥BC，
∵PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC．
解：（2）①连结MC，交PN于F，则F是△PBC的重心，且MF=$\frac{1}{3}$MC，
∵AM∥平面PNC，AM?平面AMC，平面AMC∩平面PEN=EF，
∴AM∥EF，AE=$\frac{1}{3}$AC=2$\sqrt{2}$，即E为靠近A的AC的一个三等分点．
②作EH⊥AB于H，则EH∥BC，
∴EH⊥平面PAB，
∴∠EPH是直线PE与平面PAB所成的角，
且HE=$\frac{1}{3}$BC=3，HA=$\frac{1}{3}$BA=2，
∴PH=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}-2×6×2×cos\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{7}$，PE=$\sqrt{28+9}=\sqrt{37}$，
∴sin$∠EPH=\frac{HE}{PE}$=$\frac{3\sqrt{37}}{37}$，
∴直线PE与平面PAB所成角的正弦值是$\frac{3\sqrt{37}}{37}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点的位置的判断，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．