Question

已知圆C的圆心与点P（-2，1）关于直线y=x+1对称，直线3x+4y-11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，求圆C的方程．

Answer 1

分析：设圆心坐标为C（a，b），根据点C与点P关于直线y=x+1对称建立关于a、b的方程组，联解求出a、b，可得圆心C的坐标；再根据垂径定理列式，可求出圆的半径，从而得到所求圆C的方程．

解答：解：设圆心坐标C（a，b），
由圆心C与点P关于直线y=x+1对称，得到直线CP与y=x+1垂直，
结合y=x+1的斜率为1得直线CP的斜率为-1，所以

1-b

-2-a

=-1，化简得a+b+1=0①，
再由CP的中点在直线y=x+1上，得到

1+b

2

=

a-2

2

+1，化简得a-b-1=0②
联解①②，可得a=0，b=-1，
∴圆心C的坐标为（0，-1），可得圆心C到直线AB的距离d=

|-4-11|

32+42

=3，
又∵

1

2

|AB|=3，
∴根据勾股定理，得r满足：r²=d²+（

1

2

|AB|）=18，
因此，圆C的方程为x²+（y+1）²=18．

点评：本题给出圆与圆关于直线对称，在已知圆被已知直线截得弦长的情况下，求圆的标准方程，考查了求一个点关于直线的对称点、垂径定理及点到直线的距离公式等知识，属于中档题．