Question

多向飞碟是奥运会的竞赛项目，它是由抛靶机把碟靶（射击的目标）在一定范围内从不同的方向飞出，每抛出一个碟靶，就允许运动员射击两次，直到击中为止．一运动员在进行训练时，每一次射击命中碟靶的概率P与运动员离碟靶的距离S（米）成反比，现有一碟靶抛出的距离S（米）与飞行时间t（秒）满足S=15（t+1），（0≤t≤4）．假设运动员在碟靶飞出后0.5秒进行第一次射击，且命中的概率为0.8，如果他发现没有命中，则通过迅速调整，在第一次射击后经过0.5秒进行第二次射击．
理科：（1）设该运动员命中碟靶的次数为ξ，求ξ的分布列；（2）求Eξ和Dξ．
文科：求该运动员命中碟靶的概率．

Answer 1

【理科】（1）设P=（常数k＞0），
则P=，…（2分）
当t=0.5秒时，P₁=0.8，代入上式得k=18，
∴P==，
∴当t=1秒时，P₂=0.6，…（4分）
因此 P=P₁+（1-P₁）×P₂=0.8+（1-0.8）×0.6=0.92．…（6分）
ξ可能取值为0，1，
由题意P（ξ=0）=0.2×0.4=0.08，
P（ξ=1）=0.8+0.2×0.6=0.92．…（9分）
那么ξ的分布列为

ξ	0	1
P	0.08	0.92

…（10分）
（2）Eξ=0×0.08+1×0.92=0.92，
Dξ=（0-0.92）²×0.08+（1-0.92）²×0.92=0.0736．…（12分）
【文科】设P=（常数k＞0），
则P=，…（3分）
当t=0.5秒时，P₁=0.8，
代入上式得k=18，…（5分）
∴P==，
∴当t=1秒时，P₂=0.6．…（9分）
因此 P=P₁+（1-P₁）×P₂=0.8+（1-0.8）×0.6=0.92．…（12分）
分析：【理科】（1）设P=（常数k＞0），则P=，当t=0.5秒时，P₁=0.8，代入上式得k=18，P=，当t=1秒时，P₂=0.6．故P=P₁+（1-P₁）×P₂=0.92．ξ可能取值为0，1，由此能求出该运动员命中碟靶的次数ξ的分布列．
（2）由ξ的分布列能求出Eξ和Dξ．
【文科】设P=（常数k＞0），则P=，当t=0.5秒时，P₁=0.8，代入上式得k=18，故P=，当t=1秒时，P₂=0.6．由此能求出该运动员命中碟靶的概率．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型分布列的求法和数学期望的计算，解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合知识的灵活运用．