Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2+2，k∈R． （Ⅰ） 当k=0时，求f（x）的极值；
（Ⅱ） 若对于任意的x∈[0，+∞），f（x）≥1恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）k=0时，f（x）=（x﹣1）ex+2，

f′（x）=xex，

令f′（x）＞0，解得：x＞0，

令f′（x）＜0，解得：x＜0，

故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，

故f（x）极小值=f（0）=1；

（Ⅱ）f′（x）=x（ex﹣2k），

①k≤ 时，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）递增，

f（x）min=f（0）=1≥1成立，

②k＞ 时，ln2k＞0，

令f′（x）＞0，解得：x＞ln2k，

令f′（x）＜0，解得：x＜ln2k，

故f（x）在[0，ln2k）递减，在（ln2k，+∞）递增，

故f（x）min=f（ln2k）=﹣k[（ln2k﹣1）2+1]+1＜1，

故k＞ 不合题意，

综上，k≤

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，根据f（x）min≥1，求出k的范围即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．