Question

已知复数z=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有，|w|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式：
（Ⅱ）将（x、y）用为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为，试求点P的坐标；
（Ⅲ）若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）对式子两边取模，再由“|w|=2|z|”求出|z|的值，再求出m的值代入，利用共轭复数和复数乘法运算化简，根据复数相等的充要条件列出关系式；
（Ⅱ）把点Q的坐标代入（I）所得的关系式求解即可；
（Ⅲ）设出直线y=kx上的任意点P（x，y），由（I）求出Q的坐标，代入直线方程化简，并对k进行分类：k=0和k≠0，分别求解并判断是否是同一条直线．
解答：解：（I）由题设得，，∴|z|=2，
由，∴z=1i，
∵，
∴==，
由复数相等得，，
（Ⅱ）由（I）和题意得，，解得，
即P点的坐标为．                 
（Ⅲ）∵直线y=kx上的任意点P（x，y），
其经变换后的点仍在该直线上，
∴，
即
∵当k=0时，y=0，不是同一条直线，
∴k≠0，
于是，
即，
解得
点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，复数的模和几何意义，复数相等充要条件等，以及点与直线问题等，应是复数中少见的综合题．