Question

4．集合A={x|9^x+p•3^x+q=0，x∈R}，B={x|q•9^x+p•3^x+1=0，x∈R}，且实数pq≠0
（1）证明：若x₀∈A，则-x₀∈B；
（2）是否存在实数p，q满足A∩B≠∅且A∩C_RB={1}？若存在，求出p，q的值，不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）代入，转化为同一种形式，即可证明，
（2）假设存在，由题意知集合A，B有且仅有一个公共元素，求出集合A，B的元素，代入，求出p，q即可．

解答 解：（1）证明：若x₀∈A，则${9^{x_0}}+p{3^{x_0}}+q=0$，可得$1+p{3^{-{x_0}}}+q{9^{-{x_0}}}=0$，即-x₀是方程q9^x+p3^x+1=0的实数根，即x₀∈B．
（2）假设存在，则根据A∩B≠∅，A∩C_RB={1}，易知集合A，B有且仅有一个公共元素，设A∩B={s}，
根据条件以及（1）有A={1，s}，B={-1，-s}，显然 s≠-1，则有s=-s⇒s=0，
那么A={0，1}，B={0，-1}，代入方程有p+q+1=0，3p+q+9=0，
联立解得$\left\{{\begin{array}{l}{p=-4}\\{q=3}\end{array}}\right.$，
所以存在$\left\{{\begin{array}{l}{p=-4}\\{q=3}\end{array}}\right.$满足A∩B≠∅且A∩C_RB={1}．

点评 本题考查了元素和集合的关系，以及交补运算，关键是掌握运算法则，属于中档题．