Question

某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．

(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF 面积S_△DEF的最大值；
(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图(2)，建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，求△DEF边长的最小值．

Answer 1

（1）；（2）百米．

解析试题分析：（1）求△DEF 面积S_△DEF的最大值，先把△DEF 面积用一个参数表示出来，由于它是直角三角形，故只要求出两直角边DE和EF，直角△ABC中，可得，由于EF‖AB，EF⊥ED，那么有，因此我们可用CE来表示FE，DE．从而把S_△DEF表示为CE的函数，然后利用函数的知识（或不等式知识）求出最大值；（2）．等边△DEF可由两边EF＝ED及确定，我们设，想办法也把与一个参数建立关系式，关键是选取什么为参数，由于等边△DEF位置不确定，我们可选取为参数，建立起与的关系．，则，中应用正弦定理可建立所需要的等量关系．
试题解析：（1）中，，百米，百米．
，可得，
，，
设，则米，
中，米，C到EF的距离米，
∵C到AB的距离为米，
∴点D到EF的距离为米，
可得，
∵，当且仅当时等号成立，
∴当时，即E为AB中点时，的最大值为．7分
（2）设正的边长为，，
则，
设，可得
，，
∴．
在中，，
即，化简得，12分
（其中是满足的锐角），
∴边长最小值为百米．14分
考点：（1）面积与基本不等式；（2）边长与三角函数的最值．