分析 (1)推导出BD⊥BC,BD⊥BB1,由此能证明DB⊥平面B1BCC1.
(2)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值.
解答 证明:(1)∵AD⊥DC,AB∥DC,DC=DD1=2AD=2AB=2,
∴BC=DC=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$,∴BD2+BC2=DC2,
∴BD⊥BC,
∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,∴BD⊥BB1,
∵BC∩BB1=B,
∴DB⊥平面B1BCC1.
解:(2)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
A1(1,0,2),B(1,1,0),D(0,0,0),C1(0,2,2),
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=(0,1,-2),$\overrightarrow{DB}$=(1,1,0),$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=(0,2,2),
设平面DBC1的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=2y+2z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,1),
设直线A1B与平面DBC1所成角为θ,
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{5}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$.
∴直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$.
点评 本题考查线面垂直的求法,考查线面所成角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | 30° | B. | 45° | C. | 60° | D. | 90° |
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A. | 2 | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 4 | D. | 8 |
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