分析 (1)由题意可知:将原式转化成an+1+2=2(an+2),得$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2,即可证明数列{an+2}为等比数列;
(2)由(1)求得数列{bn}通项公式,求得数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$}通项公式,利用“错位相减法”即可求得Tn.
解答 解:(1)证明an+1=2+2an,n∈N*,
∴an+1+2=2(an+2),
∴$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2,
∵a2=2a1+2=6,$\frac{{a}_{2}+2}{{a}_{1}+2}$=2,也成立;
数列{an+2}为以4为首项,以2为公比的等比数列;
∴an+2=4•2n-1,
∴an=2n+1-2,
bn=log2(an+2)=log2(2n+1-2+2)=n+1,
$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$,
Tn=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$,
$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+$\frac{4}{{2}^{5}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$,
两式相减得:$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$,
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\frac{1}{{2}^{3}}[1-(\frac{1}{2})^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$,
=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+2}}$,
∴Tn=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3•{2}^{n}-n-3}{{2}^{n+1}}$,
数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}+2}$}的前n项和Tn,Tn=$\frac{3•{2}^{n}-n-3}{{2}^{n+1}}$.<
点评 本题考查数列的求和,着重考查等比数列通项公式与采用“错位相减法”求前n项和,考查推理与运算能力,属于中档题.
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A. | 6 | B. | 8 | C. | 10 | D. | 12 |
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A. | 0 006 | B. | 0.008 | C. | 0.004 | D. | 0.016 |
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