Question

已知函数y=

2-x 2+x

+

2x-2

的定义域为M，
（1）求M；
（2）当x∈M时，求函数f(x)=2lo

g

2 2

x+4log2x 的最大值．

Answer 1

分析：（1）要使函数有意义，须保证解析式各部分均有意义，从而得不等式组，解出即可；
（2）令t=log₂x，则函数f（x）可转化为关于t的二次函数，借助二次函数的性质可得最大值，注意t的范围；

解答：解：（1）要使函数y=

2-x 2+x

+

2x-2

有意义，
须有

2-x 2+x ≥0 2x-2≥0

，即

(x-2)(x+2)≤0 2x-2≥0 x≠-2

，解得：x∈[1，2]，
故M=[1，2]；
（2）f(x)=2log22x+4log2x，令t=log₂x，
可得：g（t）=2t²+4t，t∈[0，1]，
g（t）在[0，1]上单调递增，当t=1时g（t）取得最大值，g（t）_max=6；

点评：本题考查复合函数的单调性、对数函数的图象和性质的应用及函数定义域的求解．