Question

5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求方程f（$\frac{3x}{4}$-$\frac{π}{8}$）=f（$\frac{π}{2}$）的解．

Answer 1

分析 （1）由函数图象可得A，T，利用周期公式可解得ω，又由f（$\frac{π}{4}$）=2sin（$\frac{4}{3}$×$\frac{π}{4}$+φ）=2，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，可解得φ，从而可求函数f（x）的解析式．
（2）由（1）可得f（$\frac{3x}{4}$-$\frac{π}{8}$）=2sinx，f（$\frac{π}{2}$）=1，所以原方程可化为2sinx=1，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）由函数图象可得：A=2，T=$\frac{2π}{ω}=（\frac{5π}{8}-\frac{π}{4}）×4$，解得：$ω=\frac{4}{3}$，
所以：f（x）=2sin（$\frac{4}{3}$x+φ），又f（$\frac{π}{4}$）=2sin（$\frac{4}{3}$×$\frac{π}{4}$+φ）=2，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
可解得：φ=$\frac{π}{6}$，
所以函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（$\frac{4}{3}$x+$\frac{π}{6}$）…6分
（2）由（1）可得f（$\frac{3x}{4}$-$\frac{π}{8}$）=2sin[（$\frac{4}{3}$（$\frac{3x}{4}$-$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{6}$]=2sinx，
f（$\frac{π}{2}$）=2sin（$\frac{4}{3}$×$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{5π}{6}$=1，
所以方程f（$\frac{3x}{4}$-$\frac{π}{8}$）=f（$\frac{π}{2}$）可化为：2sinx=1，即sinx=$\frac{1}{2}$，
解得：x=2k$π+\frac{π}{6}$或x=2k$π+\frac{5π}{6}$，k∈Z…12分

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．