Question

已知双曲线W：

x2

a2

-

y2

b2

=′1 (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，点N（0，b），右顶点是M，且

MN

•

MF2

=-1，∠NMF₂=120°．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点Q（0，-2）的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知M（a，0），N（b，0），F₂（c，0），

MN

•

MF2

=（-a，b）•（c-a，0）=a²-ac=-1，由∠NMF₂=120°，知∠NMF₁=60°，故b=

3

a，c=

a2+c2

=2a，由此能求出双曲线的方程．
（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y=kx-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx-2 x2- y2 3 =1

，得（3-k²）x²+4kx-7=0，由此入手，能够求出的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知M（a，0），N（b，0），F₂（c，0），

MN

•

MF2

=（-a，b）•（c-a，0）=a²-ac=-1，
∵∠NMF₂=120°，则∠NMF₁=60°，
∴b=

3

a，∴c=

a2+c2

=2a，
解得a=1，b=

3

，∴双曲线的方程为x2-

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y=kx-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx-2 x2- y2 3 =1

，得（3-k²）x²+4kx-7=0，
则

3-k2≠0 △=16k2+28(3-k2)＞0 x1+x2= 4k k2-3 ＞0 x1x2= 7 k2-3 ＞0

，
解得

3

＜k＜

7

．     ①（6分）
∵点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，则

HA

•

HB

＞0，

HA

•

HB

=(x1-7，y1)•(x2-7，y2)
=（1+k²）x₁x₂-（7+2k）（x₁+x₂）+53
=（1+k²）•

7

k2-3

-（7+2k）•

4k

k2-3

+53
=

7k2+7-8k2-28k+53k2-159

k2-3

＞0，解得k＞2．  ②
由①、②得实数k的范围是2＜k＜

7

，（8分）
由已知λ=

S△AQH

S△BQH

=

|AQ|

|BQ|

，
∵B在A、Q之间，则

QA

=λ

QB

，且λ＞1，
∴（x₁，y₁+2）=λ（x₂，y₂+2），则x₁=λx₂，
∴

(1+λ)x2= 4k k2-3 λx22= 7 k2-3

，
则

(1+λ)2

λ

=

16

7

•

k2

k2-3

=

16

7

(1+

3

k2-3

)，（10分）
∵2＜k＜

7

，∴4＜

(1+λ)2

λ

＜

64

7

，解得

1

7

＜λ＜7，又λ＞1，
∴1＜λ＜7．
故λ的取值范围是（1，7）．（13分）

点评：考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．