Question

季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．
（1）试建立价格P与周次t之间的函数关系式．
（2）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q=-0.125（t-8）²+12，t∈[0，16]，t∈N^*，试问该服装第几周每件销售利润L最大？（注：每件销售利润=售价-进价）

Answer 1

分析：（1）根据题意，直接列出价格P与周次t之间的函数关系式，分段函数．
（2）分别根据题意计算t∈[0，5]，当t∈（5，10），当t∈（10，16）时时利润L的值，并综合求最大值．

解答：解：（1）根据题意：
P=

10+2t      t∈[0，5]且t∈N* 20           t∈(5，10]且t∈N* 40-2t       t∈(10，16]且t∈N*

（2）因每件销售利润=售价-进价，即L=P-Q
故有：当t∈[0，5]且t∈N时，L=10+2t+0.125（t-8）²-12=

1

8

t²+6
即，当t=5时，L_max=9.125
当t∈（5，10）时t∈N^*时，L=0.125t²-2t+16
即t=6时，L_max=8.5
当t∈（10，16）时，L=0.125t²-4t+36
即t=11时，L_max=7.125．
由以上得，该服装第5周每件销售利润L最大．

点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，并分情况讨论，考查对知识的综合运用能力，属于中档题．