Question

17．已知一个棱锥的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是4+4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$（cm²）

Answer 1

分析 根据几何体的三视图，得出该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出各个侧面的面积，相加即可．

解答 解：由已知的三视图可得：该几何体直观图如下：

其中PA⊥底面ABCD，
PA=AB=AD=2cm，BC=4cm，底面ABCD是以AB为直角角的直角梯形，
所以S_△PAB=S_△PAD=$\frac{1}{2}$×2×2=2cm²，
PB=PD=CD=2$\sqrt{2}$cm，AC=2$\sqrt{5}$cm，PC=2$\sqrt{6}$cm，
所以PB⊥BC，S_△PBC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×4=4$\sqrt{2}$cm²，
等腰△PCD底边PC上的高为：$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}{-（\frac{2\sqrt{6}}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{2}$cm，
所以S_△PCD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{6}$×$\sqrt{2}$=2$\sqrt{3}$cm²，
所以棱锥的侧面积S=2×2+4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$=4+4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$cm²，．
故答案为：4+4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{3}$cm²

点评 本题考查了根据几何体的三视图求表面积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状，是基础题目．