分析:(Ⅰ)先由题意,将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根的判别工即可求得m值,从而解决问题.
(Ⅱ)由(Ⅰ),可知切点
p(a,).设A,B的坐标分别为(x
1,y
1),(x
2,y
2),则
+y1=n,
+y2=n,且y
1,y
2是方程组
消去x所得的方程2y
2-2ny+n
2-1=0的两个不同实根,从而有△>0,得出n的取值范围,最后结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可求得a值,从而求出椭圆的方程.
解答:解:(Ⅰ)由题意,得
消去x得2y
2-2my+m
2-1=0有两个相等的实数根,
即△=4m
2-8(m
2-1)=0,而m>0,故
m=(Ⅱ)由(Ⅰ),可知切点
p(a,).
设A,B的坐标分别为(x
1,y
1),(x
2,y
2),则
+y1=n,
+y2=n,且y
1,y
2是方程组
消去x所得的方程2y
2-2ny+n
2-1=0的两个不同实根,
从而有△=4n
2-8(n
2-1)>0,
∴
-<n<,且
y1+y2=n,y1•y2=(n2-1).
∴x
1+x
2=a(n-y
1)+a(n-y
2)=a(2n-(y
1+y
2))=an.
x1•x2=a(n-y1)•a(n-y2)=a2•[n2-n(y1+y2)+y1•y2]=a2(n2-1).
又由于
=(x1-a,y1-),=(x2-a,y2-),
∴
f(n)=•.
则
f(n)=•=(x1-a)•(x2-a)+(y1-)•(y2-)=
x1•x2-a(x1+x2)+a2+y1y2-(y1+y2)+=
(a2+1)(n2-n).
由
-<n<,知f(n)=
(a2+1)(n2-n)的最小值为
f()=-(a2+1).
即,当
n=,有
-(a2+1)=-1,可求得
a=∴所求椭圆方程为
+y2=1.
点评:本小题主要考查椭圆的标准方程、向量坐标运算的应用、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识,考查运算求解能力,考查方程思想、化归与转化思想.属于基础题.