如图,四棱锥中,底面是菱形,,,是的中点,点在侧棱上.
(1)求证:⊥平面;
(2)若是的中点,求证://平面;
(3)若,试求的值.
(1)详见解析(2)详见解析(3)
解析试题分析:(1)由线面垂直判定定理,要证线面垂直,需证垂直平面内两条相交直线,由,是的中点,易得垂直于,再由底面是菱形,得三角形为正三角形,所以垂直于,(2)由线面平行判定定理,要证线面平行,需证平行于平面内一条直线,根据是的中点,联想到取AC中点O所以OQ为△PAC中位线.所以OQ // PA注意在写定理条件时,不能省,要全面.例如,线面垂直判定定理中有五个条件,线线垂直两个,相交一个,线在面内两个;线面平行判定定理中有三个条件,平行一个,线在面内一个,线在面外一个,(3)研究体积问题关键在于确定高,由于两个底面共面,所以求的值就转化为求对应高的长度比.
试题解析:(1)因为E是AD的中点,PA=PD,所以AD⊥PE.
因为底面ABCD是菱形,∠BAD=,所以AB=BD,又因为E是AD的中点,所以 AD⊥BE.
因为PE∩BE=E,所以AD⊥平面PBE. 4分
(2)连接AC交BD于点O,连结OQ.因为O是AC中点,
Q是PC的中点,所以OQ为△PAC中位线.所以OQ//PA. 7分
因为PA平面BDQ,OQ平面BDQ.所以PA//平面BDQ. 9分
(3)设四棱锥P-BCDE,Q-ABCD的高分别为,,所以VP-BCDE=SBCDE,VQ-ABCD=SABCD. 10分
因为VP-BCDE=2VQ-ABCD,且底面积SBCDE=SABCD. 12分
所以,因为,所以. 14分
考点:线面垂直判定定理, 线面平行判定定理,锥的体积.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABCA1B1C1的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在中,AB=2BF=4,C,E分别是AB,AF的中点(如下左图).将此三角形沿CE对折,使平面AEC⊥平面BCEF(如下右图),已知D是AB的中点.
(1)求证:CD∥平面AEF;
(2)求证:平面AEF⊥平面ABF;
(3)求三棱锥C-AEF的体积,
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,圆柱的高为2,底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线,过作圆柱的截面交下底面于,四边形ABCD是正方形.
(Ⅰ)求证;
(Ⅱ)求四棱锥E-ABCD的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在底面是正方形的四棱锥中,面,交于点,是中点,为上一动点.
(1)求证:;
(1)确定点在线段上的位置,使//平面,并说明理由.
(3)如果PA=AB=2,求三棱锥B-CDF的体积
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA'与底面相邻两边AB,AC都成45°角.
(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积.
(Ⅱ)求三棱锥B'-ABC的体积.
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