Question

6．已知平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，若E为DC中点，且$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=1，则$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BE}$=3．

Answer 1

分析 由已知等式求出AB的长度，利用平面向量的数量积解答即可．

解答 解：由已知平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，若E为DC中点，且$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=1，
则（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$）$•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$=1，展开得到${\overrightarrow{AD}}^{2}-\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=1，
设|$\overrightarrow{AB}$|=x，整理则x²+x-6=0，解得x=2，所以AB=2．
所以$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）（$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$）=（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）（$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$）=${\overrightarrow{AD}}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=4-$\frac{1}{2}×2×2$×$\frac{1}{2}$-2×$2×\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}×{2}^{2}$=3；
故答案为：3．

点评 本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算；利用平行四边形的性质得到向量相等．