Question

（2012•长春模拟）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=

3

，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）当PD=1时，求此四棱锥的表面积．

Answer 1

分析：（1）通过证明BD⊥DC，BD⊥PD，证明BD⊥平面PDC，然后推出BD⊥PC；
（2）利用PD⊥平面ABCD，证明AB⊥平面PAD，分别求出S_Rt△PAB，S_△PBC，S_Rt△PDA，S_Rt△PDC，S_梯形ABCD，然后求出四棱锥的表面积．

解答：解：（1）证明：由题意可知DC=2

3

，则，
BC²=DB²+DC²，∴BD⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，
∴BD⊥PD，而PD∩CD=D，
∴BD⊥平面PDC．∵PC?平面PDC，
∴BD⊥PC；
（2）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，而AB⊥AD，PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，即是直角三角形．
SRt△PAB=

1

2

AB• PB=

1

2

•

3

•

2

=

6

2

．
过D作DH⊥BC于点H，连接PH，
则同理可证PH⊥BC．并且PH=

1+( 3 )2

=2，
S△PBC=

1

2

BC•PH=

1

2

×4×2=4．
易得SRt△PDA=

1

2

AD• PD=

1

2

•1•1=

1

2

，
SRt△PDC=

1

2

DC• PD=

1

2

•2

3

•1=

3

，
S梯形ABCD=

1

2

(AD+ BC)•AB=

1

2

(1+4)•

3

=

5 3

2

．
故此四棱锥的表面积为：
S_Rt△PAB+S_△PBC+S_Rt△PDA+S_Rt△PDC+S_梯形ABCD
=

6

2

+4+

1

2

+

3

+

5 3

2

=

9+7 3 + 6

2

．

点评：本题考查直线与直线的垂直，直线与平面垂直，几何体的表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．