Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M为棱DD₁上的一点．
（1）求三棱锥A-MCC₁的体积；
（2）当M为中点时，求证：B₁M⊥平面MAC．

Answer 1

分析：（1）由图形直接求出三棱锥的底面积和高，代入体积公式加以计算，即可得到三棱锥A-MCC₁的体积；
（2）利用勾股定理，算出B₁D₁=

2

，从而得到B₁M=

3

，同理得到B₁C=

5

且CM=

2

，△B₁CM中利用勾股定理的逆定理证出B₁M⊥MC．同理证出B₁M⊥AM，再利用线面垂直的判定定理即可证出B₁M⊥平面MAC．

解答：解：（1）根据题意，可得
AD⊥平面MCC₁，即AD=1是三棱锥A-MCC₁的高
∵S_△ MCC1=

1

2

SCC1D1D=

1

2

×1×2=1
∴三棱锥A-MCC₁的体积V=

1

3

S_△ MCC1•AD=

1

3

×1×1=

1

3

；
（2）正方形A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁=

A1B12+A 1D12

=

2

Rt△B₁D₁M中，D₁M=

1

2

D₁D=1，∴B₁M=

D1M2+B 1D12

=

3

同理可得B₁C=

5

，CM=

2

∴△B₁CM中，B₁C²=CM²+B₁M²，可得∠B₁MC=90°，即B₁M⊥MC
同理可得B₁M⊥AM
∵AM、MC是平面MAC内的相交直线，
∴B₁M⊥平面MAC．

点评：本题在正四棱柱中证明线面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理及其逆定理和正四棱柱的性质等知识，属于中档题．