Question

【题目】设函数 ．
（1）当a=b=2时，证明：函数f（x）不是奇函数；
（2）设函数f（x）是奇函数，求a与b的值；
（3）在（2）条件下，判断并证明函数f（x）的单调性，并求不等式 的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=b=2时， ，

∵ ，f（1）=0，

∴f（﹣1）≠﹣f（1），

∴函数f（x）不是奇函数

（2）解：由函数f（x）是奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），

即 对定义域内任意实数x都成立，

整理得（2a﹣b）22x+（2ab﹣4）2x+（2a﹣b）=0对定义域内任意实数x都成立，

∴ ，

解得 或

经检验 符合题意

（3）解：由（2）可知

易判断f（x）为R上的减函数，

证明：∵2x+1在定义域R上单调递增且2x+1＞0，

∴ 在定义域R上单调递减，且 ＞0，

∴ 在R上单调递减．

由 ，不等式 ，

等价为f（x）＞f（1），

由f（x）在R上的减函数可得x＜1．

另解：由 得，即 ，

解得2x＜2，∴x＜1．

即不等式的解集为（﹣∞，1）

【解析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断函数f（x）不是奇函数；（2）根据奇函数的性质建立方程即可求a与b的值；（3）根据函数单调性的定义或性质证明函数f（x）的单调性，并利用单调性的性质解不等式 ．
【考点精析】利用函数单调性的性质和函数的奇偶性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．