Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（2）当0＜x＜y＜e²且x≠e时，试比较

y

x

与

1-lny

1-lnx

的大小．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）的导数f′（x）=a-

1

x

．通过在x=1处取得极值，得出a=1；将f（x）≥bx-2恒成立，即（1-b）x＞lnx-1，将b分离得出，b＜1-

lnx-1

x

，令g（x）=1-

lnx-1

x

，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用导数求最小值．
（2）由（1）g（x）=1-

lnx-1

x

在（0，e²）上为减函数，g（x）＞g（y），1-

lnx-1

x

＞1-

lny-1

y

，整理得

1-lnx

x

＞

1-lny

y

，考虑将1-lnx除到右边，为此分1-lnx正负分类求解．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a-

1

x

．
∵函数在x=

1

a

处取得极值，∴a=1，
f（x）=x-1-lnx，
∵f（x）≥bx-2，移项（1-b）x＞lnx-1，将b分离得出，b＜1-

lnx-1

x

，令g（x）=1-

lnx-1

x

，
则令g′（x）=

lnx-2

x2

，可知在（0，e²）上g′（x）＜0，在（e²，+∞）上g′（x）＞0，
∴g（x）在x=e²处取得极小值，也就是最小值．此时g（e²）=1-

1

e2

，
所以b≤1-

1

e2

．
（1）由（1）g（x）=1-

lnx-1

x

在（0，e²）上为减函数．0＜x＜y＜e²且x≠e时，
有g（x）＞g（y），1-

lnx-1

x

＞1-

lny-1

y

，整理得

1-lnx

x

＞

1-lny

y

①
当0＜x＜e时，1-lnx＞0，由①得，

y

x

＞

1-lny

1-lnx

当e＜x＜e²时，1-lnx＜0，由①得

y

x

＜

1-lny

1-lnx

．

点评：本题考查函数与导数，利用导数研究函数的单调性，极值，并利用单调性比较大小，考查了分类讨论、推理计算能力．