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如图,已知点D(0,-2),过点D作抛物线的切线l,切点A在第二象限。

(1)求切点A的纵坐标;
(2)若离心率为的椭圆恰好经过A点,设切线l交椭圆的另一点为B,若设切线l,直线OA,OB的斜率为k,,①试用斜率k表示②当取得最大值时求此时椭圆的方程。
(1)2,(2)①,②

试题分析:(1)设切点A,则,再利用导数的几何意义得在切点A的导数值为切线的斜率,即,而,所以(2)①要求函数关系式,一要确定自变量k的取值范围,这可由切线l斜率得到.二是建立与k的等量关系,这是一个复杂消参的过程.先设,则.在使用韦达定理之前先要做一个工作,就是将椭圆方程用k表示.因为,代入椭圆方程得,而,所以,因此椭圆方程为,到此再利用韦达定理可解得,② 利用函数为单调增函数,得当k= 1时,取到最大值,此时P=4,故椭圆的方程为.
试题解析:解:(1)设切点A,依题意则有
解得,即A点的纵坐标为2                        3分
(2)依题意可设椭圆的方程为,直线AB方程为:;由
由(1)可得A,将A代入①可得
故椭圆的方程可简化为;           5分
联立直线AB与椭圆的方程:消去Y得:,则            8分
又∵,∴k∈[-2,-1];即……9分
②由可知上为单调递增函数,故当k= 1时,取到最大值,此时P=4,故椭圆的方程为…12分
练习册系列答案
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A.±B.±
C.±D.±

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