Question

（2012•南宁模拟）已知函数f（x）=

ex(x＜0) a-1+x(x≥0)

在R上连续，若曲线y=x³在点（a，b）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为（　　）

• A．

  32

  3

• B．18
• C．

  64

  3

• D．24+12

  3

Answer 1

分析：由函数f（x）=

ex(x＜0) a-1+x(x≥0)

在R上连续，点（a，b）在曲线y=x³上，知a=2，b=8．由y=x³，得到y=x³在点（2，8）处的切线方程为y-8=12（x-2），令x=0，得y=-16；令y=0，得x=

4

3

．由此能求出三角形的面积．

解答：解：∵函数f（x）=

ex(x＜0) a-1+x(x≥0)

在R上连续，
∴a-1+0=e⁰，即a=2．
∵点（a，b）在曲线y=x³上，
∴a=2，b=8．
∵y=x³，∴y′|x=2=3x2|x=2=12，
∴过点（2，8）处的切线方程为y-8=12（x-2），
令x=0，得y=-16；令y=0，得x=

4

3

．
∴三角形的面积S=

1

2

×|-16|×

4

3

=

32

3

．
故选A．

点评：本题考查三角形面积的求法，具体涉及到函数的连续性、导数、切线方程等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．