Question

已知，A是抛物线y²＝2x上的一动点，过A作圆（x－1）²＋y²＝1的两条切线分别切圆于EF两点，交抛物线于M．N两点，交y轴于                  B．C两点

      （1）当A点坐标为（8，4）时，求直线EF的方程；

      （2）当A点坐标为（2，2）时，求直线MN的方程；

      （3）当A点的横坐标大于2时，求△ABC面积的最小值。

Answer 1

（1）∵DEFA四点共圆

EF是圆（x－1）²＋y²＝1及（x－1）（x－8）＋y（y－4）＝０的公共弦

∴EF的方程为7x＋4y－8＝0………………………………………………4分

（2）设AM的方程为y－2＝k（x－2）

即kx－y＋2－2k＝0与圆（x－1）²+y²＝1相切得

＝1

∴k＝

把y－2＝（x－2）代入y²＝2x得M（，），而N（2，－2）

∴MN的方程为3x＋2y－2＝0………………………………………………8分

（3）设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），不妨设b＞c，

直线PB的方程为y－b＝，

即（y₀－b）x－x₀y＋x₀b＝0

又圆心（1，0）到PB的距离为1，所以＝1，故

（y₀－b）²＋x＝（y₀－b）²＋2x₀b（y₀－b）+ xb²

又x₀＞2，上式化简得（x₀－2）b²＋2y₀b－x₀＝0

同理有（x₀－2）c²＋2y₀c－x₀＝0

故b，c是方程（x₀－2）t²＋2y₀t－x₀＝0的两个实数根

所以b＋c＝，bc＝，则（b－c）²＝

因为P（x₀，y₀）是抛物线上的点，所以有y＝2x₀，则

（b－c）²＝，b－c＝，

∴S_△PBC＝（b－c）x₀＝＝x₀－2＋＋4≥2＋4＝8

当（x₀－2）²＝4时，上式取等号，此时x₀＝4，y＝±2

因此S_△PBC的最小值为8…………………………………………………………13分