Question

18．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD的交点为G，AD⊥平面ABE，AE⊥EB，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥CE．
（Ⅰ） 求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求三棱锥C-GBF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用线面垂直的性质及判定可得BC⊥平面ABE，可得BC⊥AE．再利用线面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）由三角形的中位线定理可得：FG∥AE，$FG=\frac{1}{2}AE=1$．利用线面垂直的性质可得FG⊥平面BCE．再利用“等体积变形”即可得出V_C-GBF=V_G-BCF计算出即可．

解答 （I）证明：∵AD⊥面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥面ABE，AE?平面ABE，
∴AE⊥BC．…（4分）
又∵AE⊥EB，且BC∩EB=B，∴AE⊥面BCE．…（5分）
（II）解：∵在△BCE中，EB=BC=2，BF⊥CE，
∴点F是EC的中点，且点G是AC的中点，…（7分）
∴FG∥AE且$FG=\frac{1}{2}AE=1$．  …（8分）
∵AE⊥面BCE，∴FG⊥面BCE．
∴GF是三棱锥G-BFC的高 …（9分）
在Rt△BCE中，EB=BC=2，且F是EC的中点
${S_{△BCF}}=\frac{1}{2}{S_{△BCE}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{2}BE•BC=1$．…（11分）
∴${V_{C-BFG}}={V_{G-BCF}}=\frac{1}{3}{S_{△BCF}}•FG=\frac{1}{3}$．…（12分）

点评 本题中考查了线面垂直的判定定理和性质定理、三角形的中位线定理、三棱锥的体积计算公式及“等体积变形”等基础知识和基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．