Question

【题目】如图，四面体中， 平面， ， ， ， .

（Ⅰ）求四面体的四个面的面积中，最大的面积是多少？

（Ⅱ）证明：在线段上存在点，使得，并求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）易得， , , 均为直角三角形，且的面积最大，进而求解即可；

（2）在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM，可证得AC⊥平面MBN，从而使得AC⊥BM，利用相似和平行求解即可.

试题解析：

（1）由题设AB＝1，AC＝2，BC＝，

可得,所以,

由PA⊥平面ABC，BC、AB平面ABC,所以， ,

所以,

又由于PA∩AB＝A，故BC⊥平面PAB,

PB平面PAB,所以,

所以， , , 均为直角三角形，且的面积最大，

．

（2）证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N．在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM．

由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC

由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN．

又BM平面MBN，所以AC⊥BM．

因为与相似， ，

从而NC＝AC－AN＝．

由MN∥PA，得＝＝．