Question

已知方程x²+y²-2mx-4y+5m=0的曲线是圆C
（1）求m的取值范围；
（2）当m=-2时，求圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长；
（3）若圆C与直线2x-y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，求m的值?

Answer 1

【答案】分析：（1）圆的方程化为标准形式，利用右侧大于0，即可求m的取值范围；
（2）当m=-2时，通过弦心距，半径，半弦长满足勾股定理，求圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长；
（ 3）若圆C与直线2x-y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，得到，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），推出x₁x₂+y₁y₂=0，联立，推出x₁x₂+y₁y₂=5x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=0，求m的值?
解答：解（1）方程x²+y²-2mx-4y+5m=0化为：（x-m）²+（y-2）²=m²-5m+4m²-5m+4
方程表示圆的方程，所以m²-5m+4m²-5m+4＞0  
解得：m＜1或m＞4；
（2）设m=-2，圆心为C（-2，2），半径R=3，
圆心到直线的距离为，
圆C截直线l：2x-y+1=0所得弦长为：；
（3）以MN为直径的圆过坐标原点O，
即OM⊥ON
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0
由
整理得 5x²-（2m+4）x+5m-3=0，
，
x₁x₂+y₁y₂=5x₁x₂+2（x₁+x₂）+1=0，

经检验，此时△=（2m+4）²-20（5m-3）＞0
∴
点评：本题考查直线与圆的位置故选，圆的方程的判断，考查函数与方程的思想，转化思想．设而不求的解题方法，考查计算能力．