Question

12．如图，已知四边形ABCD和ABEG均为平行四边形，点E在平面ABCD内的射影恰好为点A，以BD为直径的圆经过点A，C，AG的中点为F，CD的中点为P，且AD=AB=AE=2．
（1）求证：平面EFP⊥平面BCE；
（2）求几何体ADG-BCE，P-EF-B的体积．

Answer 1

分析 （1）由点E在平面ABCD内的射影恰为A，可得AE⊥平面ABCD，进一步得到平面ABCD⊥平面ABEG，又以BD为直径的圆经过A，C，AD=AB，可得BCD为正方形，再由线面垂直的性质可得BC⊥平面ABEG，从而得到EF⊥BC，结合AB=AE=GE，可得∠ABE=∠AEB=$\frac{π}{4}$，从而得到∠AEF+∠AEB=$\frac{π}{2}$，有EF⊥BE．再由线面垂直的判定可得EF⊥平面BCE，即平面EFP⊥平面BCE；
（2）解：连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，则AE⊥AD，又AB⊥AD，则AB⊥平面ADE，得到GE⊥平面ADE．然后利用等积法求几何体ADC-BCE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵点E在平面ABCD内的射影恰为A，
∴AE⊥平面ABCD，
又AE?平面ABEG，∴平面ABCD⊥平面ABEG，
又以BD为直径的圆经过A，C，AD=AB，∴ABCD为正方形，
又平面ABCD∩平面ABEG=AB，∴BC⊥平面ABEG，
∵EF?平面ABEG，∴EF⊥BC，
又AB=AE=GE，∴∠ABE=∠AEB=$\frac{π}{4}$，
又AG的中点为F，∴∠AEF=$\frac{π}{4}$．
∵∠AEF+∠AEB=$\frac{π}{2}$，∴EF⊥BE．
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，
∴EF⊥平面BCE，
又EF?平面EFP，∴平面EFP⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：连接DE，由（Ⅰ）知，AE⊥平面ABCD，
∴AE⊥AD，又AB⊥AD，AE∩AD=A，
∴AB⊥平面ADE，又AB∥GE，∴GE⊥平面ADE．
∴V_ADC-BCE=${V}_{G-ADE}+{V}_{E-ABCD}=\frac{1}{3}•GE•{S}_{△ADE}$$+\frac{1}{3}•AE•{S}_{ABCD}$
=$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{3}×2×2×2=4$．
∴几何体ADC-BCE的体积为4．

点评 本题主要考查点、线、面的位置关系以及体积的求法，考查运算求解能力及空间想象能力，是中档题．