Question

在直角坐标系中，已知A（cosx，sinx），B=（1，1），O为坐标原点，

OA

+

OB

=

OC

，f（x）=|

OC

|2．
（Ⅰ）求f（x）的对称中心的坐标及其在区间[-π，0]上的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x₀）=3+

2

，x₀∈[

π

2

，

3π

4

]，求tanx₀的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用向量知识，求得f（x）的解析式，再求f（x）的对称中心的坐标及其在区间[-π，0]上的单调递减区间；
（Ⅱ）利用f（x₀）=3+

2

，x₀∈[

π

2

，

3π

4

]，求得x₀的值，再求tanx₀的值．

解答：解：（Ⅰ）∵A（cosx，sinx），B=（1，1），
∴

OA

=（cosx，sinx），

OB

=（1，1），
∴

OC

=

OA

+

OB

=（1+cosx，1+sinx）…（2分）
∴f（x）=|

OC

|2=（1+cosx）²+（1+sinx）²=3+2（sinx+cosx）=3+2

2

sin（x+

π

4

）…（4分）
由x+

π

4

=kπ，k∈Z，即x=kπ-

π

4

，∴对称中心是（kπ-

π

4

，3），k∈Z
当2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

时，f（x）单调递减，即2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，k∈Z
∴f（x）的单调递减区间是[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z…（6分）
∴f（x）在区间[-π，0]上的单调递减区间为[-π，-

3π

4

]．…（8分）
（Ⅱ）∵f（x₀）=3+2

2

sin（x₀+

π

4

）=3+

2

，
∴sin（x₀+

π

4

）=

1

2

∵x₀∈[

π

2

，

3π

4

]，∴x₀+

π

4

=

5π

6

，∴x₀=

7π

12

∴tanx₀=tan

7π

12

=tan（

π

3

+

π

4

）=-2-

3

．…（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的学生，解题的关键是确定函数的解析式，属于中档题．