Question

8．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂+a₆=14，S₅=25．
（1）求a_n及S_n；
（2）数列{b_n}中，令b₁=1，b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$ （n≥2，n∈N^*），证明：数列{b_n}的前n项和T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂+a₆=14，S₅=25．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{4}{（2n-1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，（n≥2，n∈N^*），利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂+a₆=14，S₅=25．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+6d=14}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=25}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=2n-1，
S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（2）证明：∵b_n=$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{4}{（2n-1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，（n≥2，n∈N^*），
∴T_n=1+$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$
=1+1-$\frac{1}{n}$＜2．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．