Question

【题目】设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）
（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求证： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根据题意知：f′（x）= 在[1，+∞）上恒成立． 即a≥﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上恒成立．
∵﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上的最大值为﹣4，
∴a≥﹣4；
经检验：当a=﹣4时， ，x∈[1，+∞）．
∴a的取值范围是[﹣4，+∞）．
（Ⅱ） 在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，
即方程2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根．
记g（x）=2x2+2x+a，则有 ，解得 ．
∴ ， ．
∴
令 ．
，
记 ．
∴ ，
．
在 使得p′（x0）=0．
当 ，p′（x）＜0；当x∈（x0 ， 0）时，p′（x）＞0．
而k′（x）在 单调递减，在（x0 ， 0）单调递增，
∵ ，
∴当 ，
∴k（x）在 单调递减，
即
【解析】（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．