Question

已知函数.

(1当 时， 与)在定义域上单调性相反，求的 的最小值。

（2）当时，求证：存在，使的三个不同的实数解，且对任意且都有.

 

Answer 1

(1) 1，(2)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)利用导数求函数单调性，注意考虑函数定义域. 两个函数的单调性可以从可以确定的函数入手.因为当时，；当时，对恒成立，所以，对恒成立，所以，在上为增函数。根据和在定义域上单调性相反得，在上为减函数，所以对恒成立，即：，所以因为，当且仅当时，取最大值.所以，此时的最小值是，-(2)运用函数与方程思想，方程有三个不同的解，实质就是函数与有三个不同的交点 ，由图像可知在极大值与极小值之间. 证明不等式，需从结构出发，利用条件消去a,b，将其转化为一元函数：，从而根据函数单调性，证明不等式.

解析：(1)因为 2分。

当时，；当时，对恒成立，

所以，对恒成立，所以，在上为增函数。

根据和在定义域上单调性相反得，在上为减函数，所以对恒成立，即：，所以因为，当且仅当时，取最大值.所以，此时的最小值是， 6分

(2)因为当时，，且一元二次方程的，所以有两个不相等的实根 8分

当时，为增函数；

当时，为减函数；

当时，为增函数；

所以当时，一定有3个不相等的实根，，

分别在内，不妨设，因为，所以即即

即所以

所以

，令，则

由（1）知在上为减函数，又

所以当，又

所以即 16分

考点：利用导数求函数单调性，利用导数求函数交点，利用导数证明不等式