Question

【题目】已知椭圆E：（）的离心率为，F是E的右焦点，过点F的直线交E于点和点（）.当直线与x轴垂直时，.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线l：交x轴于点G，过点B作x轴的平行线交直线l于点C.求证：直线过线段的中点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）通过离心率推出，结合．转化求解，，求解椭圆的方程．

（2）求出，，得到线段的中点为．①当直线与轴垂直时，说明直线过线段的中点．②当直线不与轴垂直时，可设其方程为，代入，利用韦达定理设，，，，，求出的方程为．推出直线系方程，说明直线过线段的中点．

（1）由，得，所以，

因为直线经过点F，且，所以根据对称性，不妨设.

当直线与x轴垂直时，，

，所以.

由，得，所以，.

所以椭圆E的方程为.

（2）当直线与x轴垂直时，，，，

这时直线的方程为，即.

令，得，点恰为线段的中点.

因为，当直线不与x轴垂直时，可设其方程为，

代入，

整理得.

所以，.

因为，，，

所以直线的方程为.

因为，，

所以

，

这说明直线过点.

综上可知直线过线段的中点.