Question

4．设函数f（x）=$\frac{1}{2a}{x^2}$-lnx，其中a=1为大于零的常数．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入函数f（x）的解析式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出函数的导数，问题转化为求函数f（x）在[1，2]上的最小值f（x）_min＞2，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，得到关于函数最小值的解析式，求出a的值即可．

解答 解：（1）当a=1时，f′（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
令f′（x）＞0，得，x＞1，令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
故函数，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），
从而f（x）在（0，+∞）的极小值为f（1）=$\frac{1}{2}$，f（x）无极大值．
（2）f′（x）=$\frac{1}{a}$x-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{ax}$（x＞0），
f（x）在[1，2]上恒成立?f（x）在[1，2]上的最小值f（x）_min＞2，
∵a＞0，∴令f′（x）=0，解得：x=$\sqrt{a}$；
①当0＜$\sqrt{a}$≤1，即0＜a≤1时，函数f（x）在[1，2]上递增，
f（x）的最小值是f（1）=$\frac{1}{2a}$＞2，解得：0＜a＜$\frac{1}{4}$，
②当$\sqrt{a}≥2，即a≥4时，函数f（x）在[1，2]上递减，f（x）的最小值为f（2）=\frac{2}{a}-ln2＞2，无解$．$\sqrt{a}≥2，即a≥4时，函数f（x）在[1，2]上递减，f（x）的最小值为f（2）=\frac{2}{a}-ln2＞2，无解$．
③当1＜$\sqrt{a}$＜2，即1＜a＜4时，函数f（x）在[1，$\sqrt{a}$]递减，在[$\sqrt{a}$，2]递增，
所以f（x）的最小值是f（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$lna＞2，无解；
综上，所求a的取值范围为（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．