Question

如图，四面体ABCD中，M、N分别是线段BC、AD的中点，已知

AG

=

2

3

AM

，则
（1）

NM

=

1

2

（

NB

+

NC

）；
（2）

NM

=

DB

+

1

2

AC

；
（3）

NG

=

1

3

（

NA

+

NB

+

NC

）；
（4）存在实数x，y，使得

NG

=x

DB

+y

DC

．
其中正确的结论是

 

．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）．

Answer 1

考点：空间向量的加减法

专题：空间向量及应用

分析：（1）由于M是线段BC的中点，可得

NM

=

1

2

(

NB

+

NC

)；
（2）取CD的中点E，连接EN，EM．而

NM

=

NE

+

EM

=

1

2

AC

+

1

2

DB

，即可判断出；
（3）利用

NG

=

NM

+

MG

，

MG

=

1

3

MA

=

1

3

(

NA

-

NM

)，及其（1）即可得出；
（4）由于M、N分别是线段BC、AD的中点，

AG

=

2

3

AM

，可得NG与平面DBC不平行，得出不存在实数x，y，使得

NG

=x

DB

+y

DC

．

解答： 解：（1）∵M是线段BC的中点，∴

NM

=

1

2

(

NB

+

NC

)，正确；
（2）取CD的中点E，连接EN，EM．
则

NM

=

NE

+

EM

=

1

2

AC

+

1

2

DB

，因此不正确；
（3）

NG

=

NM

+

MG

=

NM

+

1

3

MA

=

NM

+

1

3

(

NA

-

NM

)=

2

3

×

1

2

(

NB

+

NC

)+

1

3

NA

=

1

3

(

NB

+

NC

+

NA

)，因此正确；
（4）∵M、N分别是线段BC、AD的中点，

AG

=

2

3

AM

，
∴NG与平面DBC不平行，
∴不存在实数x，y，使得

NG

=x

DB

+y

DC

．
综上可得：只有（1）（3）正确．
故答案为：（1）（3）．

点评：本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、中点的性质、向量共线定理、向量的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．