Question

求证:3ⁿ＞(n+2)·2^n-1（n∈N^*，n＞2）.

Answer 1

证明略

证明 利用二项式定理3ⁿ=(2+1)ⁿ展开证明.
因为n∈N^*，且n＞2,所以3ⁿ=(2+1)ⁿ展开后至少有4项.
（2+1）ⁿ=2ⁿ+C·2^n-1+…+C·2+1≥2ⁿ+n·2^n-1+2n+1＞2ⁿ+n·2^n-1=(n+2)·2^n-1,
故3ⁿ＞(n+2)·2^n-1.