【题目】2018年8月8日是我国第十个全民健身日,其主题是:新时代全民健身动起来。某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图。
(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;
(2)(i)若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;
(ⅱ)已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2000,若18岁以上(含18岁)为成年人,试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数。
【答案】(1) 平均数37,中位数为35;(2) (ⅰ);(ⅱ)该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88=1760.
【解析】
(1)每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值;直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数;(2)(ⅰ)从6人中任选2人共有15个基本事件,至少有1人年龄不低于60岁的共有9个基本事件,由古典概型概率公式可得结果;(ⅱ)样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1-(18-10)×0.015=0.88.
(1)平均数.
前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3=0.65,故中位数落在第3组,设中位数为x,
则(x-30)×0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位数为35.
(2)(ⅰ)样本中,年龄在[50,70)的人共有40×0.15=6人,其中年龄在[50,60)的有4人,设为a,b,c,d,年龄在[60,70)的有2人,设为x,y.
则从中任选2人共有如下15个基本事件:(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y).
至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件:
(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y).
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A,
故所求概率.
(ⅱ)样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1-(18-10)×0.015=0.88,
故可以估计,该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88=1760.
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【题目】如图,是圆柱的直径,是圆柱的母线,,,点是圆柱底面圆周上的点.
(1)求三棱锥体积的最大值;
(2)若,是线段上靠近点的三等分点,点是线段上的动点,求的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,且四棱锥P-ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积.
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【题目】已知两点、,动点在轴上的射影是,且.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)设直线、的两个斜率存在,分别记为、,若,求点的坐标;
(3)若经过点的直线与动点的轨迹有两个交点、,当时,求直线的方程.
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【题目】已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)判断直线与曲线的位置关系,并说明理由;
(2)若直线和曲线相交于,两点,求.
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