(本题10分)
已知函数 (为实常数).
(1)若,求证:函数在上是增函数;
(2)求函数在区间上的最小值及相应的值;
(3)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
解:(1)当时,,
∵,又,
∴,故函数在上是增函数. …………2分
(2)∵,
而时,,
∴①当,即时,(仅当时,),
故函数在上为增函数,此时
②当,且,即时,
令得,()
∵时,;时,,
∴,
③当,即时,(仅当时,),
故函数在上为减函数,此时.
综上可知,当时,函数的最小值为1,相应的值为1;
当时,函数的最小值为,相应的值为;
当时,函数的最小值为,相应的值为. ………… 6分
(3)法一:
由不等式,即,
化为,
∵,∴且等号不能同时取到,所以,即,
∴()
令(),又,
∵,
∴,,,
从而,仅当时取等号,所以在上为增函数,
故的最小值为,所以的取值范围是. …………10分
(3)法二:
设,
则,
∵,∴ ,,
∴①当,即时,,∴在上为增函数,
∴,由题意,解得,∴;
②当,即时,
若,则,在上为减函数;
若,则,在上为增函数;
∴,
由题意,
因为,所以式恒成立,∴;
③当,即时,,在上为减函数,
∴,由题意,
解得,因为,∴;
综上所述:的取值范围是. …………10分
科目:高中数学 来源:2010-2011学年辽宁省抚顺市六校联合体高二下学期期末考试数学 题型:解答题
(本题10分)
已知关于的不等式(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)如果不等式的解集为空集,求实数的取值范围。
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年甘肃省高三上学期期中考试理科数学试卷 题型:解答题
(本题10分)已知函数是奇
函数,当x>0时,有最小值2,且f (1).
(Ⅰ)试求函数的解析式;
(Ⅱ)函数图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
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