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一个口袋装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球,一次摸将从中摸两个球(每次摸奖后放回),两个球颜色不同则为中奖.
(I)试用n表示一次摸奖中奖的概率;
(II)若n=5,求三次摸奖的中奖次数ε=1的概率及数学期望;
(III)记三次摸奖恰有一次中奖的概率为p,当n取多少时,p最大?
分析:(I)记“1次从n+5个球中摸出2个球”为事件A,事件A包含的基本事件总数n=
(n+5)(n+4)
2
,“1次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为事件B,事件B包含的基本事件个数m=5n,由此能求出一次摸奖中奖的概率.
(II)三次放回式抽奖中,“每次从n+5个球中摸出2个球,且2个球异色”为独立重复事件,当n=5时,获奖次数ξ~B(3,
5
9
),三次摸奖的中奖次数ε=1的概率及数学期望.
(III)设ξ~B(n,p),p(ξ+1)=
C
1
3
p(1-p)2
=3p3-6p2+3p,0<p<1.令f(p)=3p3-6p2+3p,利用导数性质能求出当n=20时,三次摸奖恰有一次中奖的概率最大.
解答:解:(I)记“1次从n+5个球中摸出2个球”为事件A,
则事件A包含的基本事件总数n=
(n+5)(n+4)
2

“1次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为事件B,
则事件B包含的基本事件个数m=5n,
∵两个球颜色不同则为中奖,
∴一次摸奖中奖的概率p=
5n
(n+5)(n+4)
2
=
10n
(n+5)(n+4)

(II)三次放回式抽奖中,“每次从n+5个球中摸出2个球,且2个球异色”为独立重复事件,
当n=5时,获奖次数ξ~B(3,
5
9
),p(ξ=1)=
C
1
3
(
5
9
)(
4
9
)2
=
80
243

Eξ=np=3×
5
9
=
5
3

(III)设ξ~B(n,p),
p(ξ+1)=
C
1
3
p(1-p)2
=3p3-6p2+3p,0<p<1.
令f(p)=3p3-6p2+3p,则f′(p)=9p2-12p+3,
由f′(p)=0,得p=
1
3

∵当0<p<
1
3
时,f′(p)>0;当
1
3
<p<1
时,f′(p)<0.
∴当p=
1
3
时,f(p)有最大值,
由p=
10n
(n+5)(n+4)
=
1
3
,解得n=20.
∴当n=20时,三次摸奖恰有一次中奖的概率最大.
点评:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的数学期望和分布列,考查概率取最大值时的红球的个数.解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
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