Question

在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N^*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．对下列4个函数：①f(x)=-cos(

π

2

-x)；②f(x)=(

1

3

)x；③f（x）=3π（x-1）²+2；④f（x）=log_0.5x；其中是一阶格点函数的有（　　）

• A、①③
• B、②③
• C、③④
• D、①④

Answer 1

分析：根据题意，依次分析4个所给的函数，①利用诱导公式化简后，求出整数点的个数，判定是否满足题意；②找出反例判断正误．③找出满足题意的点的个数是即可判断正误；④利用对数函数与指数函数的互化，找出整点的个数即可判定正误，进而可得答案．

解答：解：显然点（0，0）是函数f(x)=-cos(

π

2

-x)=-sinx的图象上，而且函数只有最高点和最低点以及图象与x轴的交点处，
横坐标都不是整点，所以函数f(x)=-cos(

π

2

-x)是一阶格点函数．
f（x）=3π（x-1）²+2的图象上点（1，2）为整点，当x≠1的整数时，函数值都不是整数，故函数是一阶格点函数；
函数f(x)=(

1

3

)x中，当x取负整数或0时，都是整点，不成立；
当x=(

1

2

)n (n=0，1，2，3，…)，都是整点，故函数f（x）=log_0.5x不是一阶格点函数．
故选A

点评：本题是中档题，创新题，考查发现问题解决问题的能力，涉及三角函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象和性质．