已知如图.直线l:x=-p2.点F(p2.0).P为平面上的动点.过P作直线l的垂线.垂足为点Q.且QP•QF=FP•FQ．(1)求动点P的轨迹C的方程,(2)当p=2时.曲线C上存在不同的两点关于直线y=kx+3对称.求实数k满足的条件,.过M且斜率为1的直线与轨迹C交于不同的两点A.B.线段AB的中垂线与x轴交于点N.当|AB|≤2p时.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知如图，直线l：x=-

（p＞0），点F(

，0)，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且

•

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当p=2时，曲线C上存在不同的两点关于直线y=kx+3对称，求实数k满足的条件（写出关系式即可）；
（3）设动点M （a，0），过M且斜率为1的直线与轨迹C交于不同的两点A，B，线段AB的中垂线与x轴交于点N，当|AB|≤2p时，求△NAB面积的最大值．

（1）设点P坐标为P（x，y），则点Q坐标为Q（-

，y)
则

=(x+

，0)，

=(p，-y)，

=(x-

，y)，

=(-p，y)（2分）
由

•

．得：y²=2px（p＞0）（4分）
（2）p=2时，y²=4x．
设曲线C上关于直线y=kx+3对称点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线AB所在直线方程为x+ky+n=0，（n为常数）．
代入y²=4x得y²+4ky+4n=0
△=（4k）²-16n＞0即k²-n＞0（3分）
又∵AB中点M在直线y=kx+3上，
则（2k²-n，-2k）代入y=kx+3得-2k=2k³-nk+3（5分）
∴

k2-n＞0

-2k=2k3-nk+3

即k2+

+2＜0．（6分）
（3）联立

y=x-a

y2=2px

?y²-2px-2pa=0，
∵△=4p²+8pa＞0?a＞-

（1分）
∴|AB|=

|x1-x2|=

|y1-y2|=

(2p)2+8pa

≤2p
∴a≤-

∴-

＜a≤-

．（2分）
AB中垂线y-p=-（x-a-p），即y=-x+a+2p
令y=0，x=a+2p
∴h=

|2p|

p（3分）
∴S△=

•

(2p)2+8pa

4p2+8pa

（4分）
在(-

单调递增（5分）
当a=-

时，Smax=

p2．（6分）

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