【题目】已知⊙C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0(m∈R)
(1)求证:对任意m∈R,直线l与⊙C恒有两个交点;
(2)求直线l被⊙C截得的线段的最短长度,及此时直线l的方程.
【答案】
(1)证明:由(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0,m∈R得:
(x+y﹣4)+m(2x+y﹣7)=0,
∵m∈R,
∴ 得x=3,y=1,
故l恒过定点A(3,1);
又圆心C(1,2),
∴|AC|= <5(半径)
∴点A在圆C内,从而直线l恒与圆C相交
(2)解:∵弦长的一半、该弦弦心距、圆的半径构成一个直角三角形,
∴当l⊥AC(此时该弦弦心距最大),直线l被圆C截得的弦长最小,
∵kAC=﹣ ,
∴直线l的斜率kl=2,
∴由点斜式可得l的方程为2x﹣y﹣5=0
【解析】(1)判断直线l是否过定点,可将(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0,m∈R转化为(x+y﹣4)+m(2x+y﹣7)=0,利用 即可确定所过的定点A(3,1);再计算|AC|,与圆的半径R= 比较,判断l与圆的位置关系;(2)弦长最小时,l⊥AC,由kAC=﹣ 直线l的斜率,从而由点斜式可求得l的方程.
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【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=1,BC=2,又PB⊥平面ABCD,且PB=1,点E在棱PD上,且BE⊥PD.
(1)求异面直线PA与CD所成的角的大小;
(2)求证:BE⊥平面PCD;
(3)求二面角A﹣PD﹣B的大小.
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【题目】已知函数g(x)= 是奇函数,f(x)=log4(4x+1)﹣mx是偶函数.
(1)求m+n的值;
(2)设h(x)=f(x)+ x,若g(x)>h[log4(2a+1)]对任意x≥1恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形,点F是PB的中点,点E是边BC上的任意一点.
(1)求证:AF⊥EF;
(2)求二面角A﹣PC﹣B的平面角的正弦值.
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【题目】下列各组函数中不表示同一函数的是( )
A.f(x)=lgx2 , g(x)=2lg|x|
B.f(x)=x,g(x)=
C.f(x)= ,g(x)=
D.f(x)=|x+1|,g(x)=
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的长轴是短轴的两倍,点P( , )在椭圆上,不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OA、l、OB的斜率分别为k1、k、k2 , 且k1、k、k2恰好构成等比数列,记△AOB的面积为S.
(1)求椭圆C的方程;
(2)试判断|OA|2+|OB|2是否为定值?若是,求出这个值;若不是,请说明理由?
(3)求△AOB面积S的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠BAD=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,E、F分别是PA、PC的中点.
(Ⅰ)证明:PA∥平面FBD;
(Ⅱ)若PA=1,在棱PC上是否存在一点M使得二面角E﹣BD﹣M的大小为60°.若存在,求出PM的长,不存在请说明理由.
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