【题目】已知椭圆C中心在原点,焦点在坐标轴上,且该椭圆经过点( , )和点 .求
(1)椭圆C的方程;
(2)P,Q,M,N四点在椭圆C上,F1为负半轴上的焦点,直线PQ,MN都过F1且 ,求四边形PMQN的面积最小值和最大值.
【答案】
(1)解:由题意,设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n),
代入点( , )和点 ,可得
m+ n=1, m+n=1,
解得m=1,n= ,
即有椭圆方程为x2+ =1
(2)解:由 ,可得直线PQ,MN垂直.
(ⅰ)若MN与PQ中一条斜率不存在,另一条斜率为0,
则四边形PMQN的面积S= 2a =2b2=2;
(ⅱ)若PQ与NM的斜率均存在,
设PQ:y=kx+1与椭圆方程联立
消去y可得(2+k2)x+2kx﹣1=0,则△=8(k2+1)>0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=﹣ ,x1x2=﹣ ,
∴|PQ|= |x1﹣x2|= =2 ;
同理可得|MN|=2 .
∴S= |PQ||MN|=4 = = ,
由k2+ ≥2,得 ≤S<2.
由(ⅰ)(ⅱ)知,Smin= ,Smax=2
【解析】(1)由题意,设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n),代入两点的坐标,建立方程组,从而可求椭圆的几何量,即可求椭圆C的方程;(2)分斜率存在与存在分别讨论,利用直线与椭圆联立,根据韦达定理及弦长公式,确定面积的表达式,运用基本不等式可得最值,即可求得结论.
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【题目】如图,现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm(x不小于9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为 m的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于60m,绕岛行驶的路宽均小于10m.
(1)求x的取值范围;(运算中 取1.4)
(2)若中间草地的造价为a元/m2 , 四个花坛的造价为 元/m2 , 其余区域的造价为 元/m2 , 当x取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.
(1)证明:BE⊥DC;
(2)求直线BE与平面PBD所成角的余弦值.
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【题目】已知二次函数y=f(x)的图象过坐标原点,其导函数f′(x)=6x﹣2,数列{an}前n项和为Sn , 点(n,Sn)(n∈N*)均在y=f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 ,Tn是数列{bn}的前n项和,求当 对所有n∈N*都成立m取值范围.
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【题目】如图,将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折,连接AC、FD,形成如图所示的多面体,且,(1)证明:平面ABEF平面BCDE; (2)求DE与平面ABC所成角的正弦值。
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【题目】已知函数, .
(1)若曲线与在公共点处有相同的切线,求实数的值;
(2)当时,若曲线与在公共点处有相同的切线,求证:点唯一;
(3)若, ,且曲线与总存在公切线,求:正实数的最小值.
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【题目】已知函数, .
(1)当时,求函数的最小值;
(2)当时,讨论函数的单调性;
(3)是否存在实数,对任意的, ,且,有恒成立,若存在求出的取值范围,若不存在,说明理由.
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