Question

设复数z=x+（4-x）i（x∈R）．
（Ⅰ）若复数

z

1-i

为纯虚数，求x的值；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，3]，使得|z|²-2m≥0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把z=x+（4-x）i代入

z

1-i

，整理为a+bi（a，b∈R）的形式由实部等于0，虚部不等于0求解x得值；
（Ⅱ）把|z|²-2m≥0变形为2m≤|z|²，代入复数z后变为m≤（x-2）²+4，求出不等式右边代数式在x∈[-1，3]的最大值，由m小于等于该最大值即可得到实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为

z

1-i

=

x+(4-x)i

1-i

=

[x+(4-x)i](1+i)

2

=(x-2)+2i
又因为复数

z

1-i

为纯虚数，所以x-2=0，即x=2；
（Ⅱ）由|z|²-2m≥0得，2m≤|z|²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16=2（x-2）²+8，
即m≤（x-2）²+4，
因为x∈[-1，3]，所以当x=-1时（x-2）²+4的最大值为13，
又因为存在x∈[-1，3]，使得|z|²-2m≥0，
所以实数m的取值范围是m≤13．

点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，训练了分离变量法和配方法求二次函数的最值，解答此题的关键是把求使得|z|²-2m≥0成立的实数m的取值范围转化为m小于等于二次三项式的最大值，该题是中档题．