Question

两个等差数列a_n的和b_n的前n项和分别为S_n和T_n，已知

Sn

Tn

=

5n-9

n+3

，则使a_n=tb_n成立的正整数t的个数是 ______；

Answer 1

当

5n-9

n+3

=1即n=3时，

S3

T3

=

a1+a2+a3

b1+b2+b3

=

3a2

3b2

=

a2

b2

=1，则a₂=b₂，此时t=1；
当

5n-9

n+3

=2即n=5时，

S5

T5

=

a1+a2+…+a5

b1+b2+…+b5

=

5a3

5b3

=

a3

b3

=2，则a₃=2b₃，此时t=2；
当

5n-9

n+3

=3即n=9时，

S9

T9

=

a1+a2+…+a9

b1+b2+…+b9

=

9a5

9b5

=

a5

b5

=3，则a₅=3b₅，此时t=3；
当

5n-9

n+3

=4即n=21时，

S21

T21

=

a1+a2+…+a21

b1+b2+…+b21

=

21a11

21b11

=

a11

b11

=4，则a₁₁=4b₁₁，此时t=4．
当

5n-9

n+3

≥5时，解得的n不为正整数即t也不为正整数，所以满足题意的正整数t的个数是4
故答案为：4