Question

（08年黄冈中学三模文）（本小题满分13分）设的极小值为,其导函数的图像是经过点开口向上的抛物线,如图所示．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若，且过点（1，m）可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

 

Answer 1

解析：（Ⅰ），且的图像经过点,

∴，            ∴，……（3分）

由导函数图像可知函数在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增， 

∴，解得 . ∴.        ……（6分）

（Ⅱ）设切点为（x₀, y₀），由题设知x₀≠1，则切线斜率可表示为和，所以，又，即，

∴，

要有三条切线，则上述关于x₀的方程应有三个不同的实数根. ……（9分）

令，则要与x轴有三个交点（且交点坐标），

即的极大值与极小值的乘积小于零，由得 或

且当和时；当时，，

∴在x₀=0, x₀=1处分别取得极大值+3和极小值+2.

由，（此时显然有x₀=1不可能是方程的根）

故m的取值范围是（-3，-2）.               ……（13分）