Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax+b，其中实数a，b是常数．
（1）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A“f（1）≥0”发生的概率；
（2）若f（x）是R上的奇函数，g（a）是f（x）在区间[-1，1]上的最小值，求当|a|≥1时g（a）的解析式．

Answer 1

分析：（1）当a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}时，等可能发生的基本事件（a，b）共有9个，其中事件A“f(1)=

1

3

-a+b≥0”，包含6个基本事件，由此能求出事件“f（1）≥0”发生的概率．
（2）f(x)=

1

3

x3-ax+b，是R上的奇函数，得f（0）=0，b=0.f(x)=

1

3

x3-ax，f'（x）=x²-a，再由a的取值范围分类讨论知答案．

解答：解：（1）当a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}时，等可能发生的基本事件（a，b）共有9个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2）．（4分）
其中事件A“f(1)=

1

3

-a+b≥0”，包含6个基本事件：（0，0），（0，1），（0，2），（1，1），（1，2），（2，2）．（4分）
故P(A)=

6

9

=

2

3

．（6分）
答：事件“f（1）≥0”发生的概率

2

3

．（7分）
（2）f(x)=

1

3

x3-ax+b，是R上的奇函数，得f（0）=0，b=0．（8分）
∴f(x)=

1

3

x3-ax，f'（x）=x²-a，（9分）
当a≥1时，因为-1≤x≤1，所以f'（x）≤0，f（x）在区间[-1，1]上单调递减，
从而g(a)=f(1)=

1

3

-a；（11分）
当a≤-1时，因为-1≤x≤1，所以f'（x）＞0，f（x）在区间[-1，1]上单调递增，
从而g(a)=f(-1)=-

1

3

+a．（13分）
综上，知g(a)=

a- 1 3 ，  a≤-1 -a+ 1 3 ， a≥1

．（14分）

点评：本题考查概率的应用和性质，出题者巧妙地把函数和概率融合在一起，体会了出题者的智慧，解题时也要合理地运用函数的性质进行求解．