Question

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9，sinB=cosA•sinC，S_△ABC=6，P为线段AB上的一点，且

CP

=x．

CA

| CA |

+y•

CB

CB

，则

1

x

+

1

y

的最小值为（　　）

A． 7 6

B． 7 12

C． 7 12 + 3 3

D． 7 6 + 3 3

Answer 1

△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b
∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵

AB

•

AC

=9，S_△ABC=6
∴bccosA=9，

1

2

bcsinA=6
∴tanA=

4

3

，根据直角三角形可得sinA=

4

5

，cosA=

3

5

，bc=15
∴c=5，b=3，a=4
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）
P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得

CP

=λ

CA

+(1-λ)

CB

=（3λ，4-4λ）（0≤λ≤1）
设

CA

| CA |

=

e1

，

CB

| CB |

=

e2

则|

e1

|=|

e2

|=1，

e1

=(1，0)，

e2

=(0，1)
∴

CP

=x

CA

| CA |

+y

CB

| CB |

=（x，0）+（0，y）=（x，y）
∴x=3λ，y=4-4λ则4x+3y=12

1

x

+

1

y

=

1

12

(

1

x

+

1

y

)(4x+3y)=

1

12

(7+

3y

x

+

4x

y

)≥

7

12

+

3

3

故所求的最小值为

7

12

+

3

3

故选：C